三个高中生是如何再一次证明百年数学定理的？
三名高中学生，仅在业余时间，又一次证明了100年前的数学定理。
不只是圆，你可以在那里门格海绵（Menger Sponge）在数学中找到任何一种结（knot）！
你可能不熟悉门格海绵。这是Karl。 Menger(1926年卡尔·门格尔)建立的一个非常有趣的概念，对于现代数学、图形学等领域至关重要。
这款分形海棉在100年间吸引了无数的专业和业余数学家，原因也很简单：它看上去太有趣了。
2014年，100多名数学爱好者还参与了一项名为MegaMenger的全球行动，用名片制作了一种新版本的门格海绵，重约200磅。
由于它具有多孔、泡沫状的结构，也常用于模拟减振器和特殊的空间-时间模式。
它的结构非常优雅。我们应该从一个立方体开始，首先将位于中心和六个面中心的立方体移除。然后对准剩下的。 20 一个正方体重复这个过程。
每一次迭代，它的间隙都会呈指数级增长，最终结构与常见的“海棉”非常相似，这就是它名字的由来。
门格海绵还具有很特别的数学特性：在迭代过程中，正方体的形态体积会减小到零，而表面积会无限增大。。
当Menger在1926年提出这个概念时，它证明了这个概念。任何可以想像的曲线——简单的线条和圆形，看起来像树或雪花的结构——可以变形，然后变形。嵌入在海绵的某个地方，换句话说，这种海绵是一种“通用曲线”。
今天的主角来自加拿大的三名高中生，跟随Malors，Malors当时还在读多伦多大学的研究生。 Espinosa(马洛斯·埃斯皮诺萨)进一步扩展了这一定律的证明。
并且他们还发现，三叶结属于类别。 “普雷策尔结（pretzel knot）"也可以映射到门格海绵四面体版本中。
拓扑学家Radmilamila，北卡罗来纳州立大学。 Sazdanovic还评论说，“这是一个非常巧妙的证明方法。”
这个究竟是怎么做到的？
用弧形图和康托尔集表示结结
在阅读了相关证明之后，Malors意识到，Menger已经证明了它可以在他的海绵中找到任何圆圈。
所以，假设是另一种，类似于“圆”形式，这条法律还能成立吗？
例如，一个经典的数学结:扭曲和系结一根绳子，然后封闭两侧形成一个环。这个时候，如果一只蚂蚁沿着它走，它最终会回到原点，就像在圆上一样。
这样，每个结都等同于圆，或者说“同胚”（homeomorphic）”于圆。
从这个想法中，Malors受到了启发，他决定从自己教的高中找一些学生来证明：你可以在门格海绵中找到任何一个结。
之后，三名高中生——Joshua Broden、Noah Nazareth 和 Niko 真的做到了Voth！
三个学生在参加这次证实活动之前，从未做过这样一个“无答案”的问题，但是这群14岁的少年特别兴奋。
它们的目标类似于用一根微针穿过一团灰尘，即海绵经过多次移除后剩下的部分。
她们必须把针插在正确的位置，准确地系好，而且不能离开海棉。假如由于任何一个结，他们的线条都漂浮在海棉的缝隙中，那就失败了。
尽管这个看起来很难，但是有一个简单的方法。在平面上，绳结可以被称为一个特殊的图表。弧表示（arc presentations）。
要画出弧形表示图，首先要知道结的股票是如何前后移动的。然后，用一套规则将这些信息转换成网格上的一系列点。网格的每一行和每一列都将包含两个点。
将这些点与水平和垂直线连接起来。每当两个线段交叉时，将垂直线画在水平线上。
每个结都可以用这个网格来表示。虽然弧形表示有时看起来比其他绘制方法更复杂，但它可以让数学家更容易地研究结的一些重要特征。
在看到纵横交错的线条图时，学生们想到了门格海绵的表面。
您可以很简单地将弧线的水平线放在海棉的一个表面，将垂直线放在海棉的另一个表面。
难点在于如何将结拉申回三维空间。在弧线的每个角落，两个面都需要通过海绵的内部连接起来，以防止遇到洞。
他们想到了这一点，以确保这一点。康托尔集（the Cantor set），门格海绵的一维模拟就是这样。
要构建这个集合，首先要从一个线段开始，分成三部分。去掉中间的三分之一，然后对剩下的两段做同样的处理，等等，无穷无尽。最后剩下的就是零散的点。
研究小组的证明同时使用了门格海绵和康托尔集，它们有相同数量的移除步骤。
他们发现康托尔集中的海绵表面坐标不应该有洞。而且由于海绵的重复设计，这些点后面不应该有洞。因此，结可以随意清晰地穿过海绵，而不是不小心跳出海绵的材料。
接下来，学生能做的就是证明他们可以压缩或申请随机绳结的弧线，使所有角落都与康托尔集中的坐标对齐。(这种压缩和拉申是合理的，因为它不会影响弧线的整体结构，所以也不会影响它所代表的绳结)。
三个学生走了一条捷径，以完成这最后一步。
他们证实，他们可以变形任何弧线，使垂直段和能力段的连接点集中在康托尔。这自动保证了更多的角度将与康托尔集合。
这就是他们在一次迭代中，总能将给定的结嵌入格尔海棉中。。
Malors最初的确认已经完成。然而，他们仍然希望进一步推进这项研究：门格海绵四面体版本中是否还可以嵌入所有的结？？
Malors最初坚信，对于想要在四面体中找到三叶结的学生来说，这是不可能的。
但是几个星期后，学生们真的做到了：他们找到了一种新的方法，将三叶结的弧表示映射到四面体中。。
后来他们确认，这种方法适用于三叶结所属的更广泛的结类。 “普雷策尔结（pretzel knot）”。
但目前对其它类型结的确认尚未完成。
One More Thing
Malors说，这个证明过程，让学生真正体会到了数学研究的痛苦。
与高中数学题不同，总会给出一个明确的答案，在真正的数学研究中，很大一部分时间都是挣扎在有希望的失败中。
Malors认为学生的证明方法可能是对分形复杂性进行更广泛的测量。提供了一个新的想法。
并不是所有的分形物都能保证所有类型的结的容纳。也许我们可以更好地了解它们的结构，因为它们可以容纳和不能容纳什么类型的结。
最起码，这部作品可以激发新的艺术灵感，类似于2014年的MegaMenger比赛等等。
在确认期间，三名学生都高中毕业了。只有Broden决定在大学学习不忙的时候继续研究四面体问题，但他们都在考虑从事数学工作。
另外一位同学Nazareth也表示：“我正在努力为更多的工作，为真理的本质做出贡献，这是非常有意义的。
参考链接：https://www.quantamagazine.org/teen-mathematicians-tie-knots-through-a-mind-blowing-fractal-20241126/
本文来自微信微信官方账号“量子位”，作者：关注前沿技术，36氪经授权发布。
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