在AI改变数学的一年里，黎曼假说和朗兰兹猜测，盘点2024年数学里程碑。

2024年是数学领域令人兴奋的一年。人工智能的发展不仅见证了几何和数学理论的里程碑式成果，也改变了数学课程的未来。

今年5月，由9位数学家组成的团队宣布取得重大突破——他们证明了几何朗兰兹猜测，基于过去近30年的不懈努力，共有800多篇论文。（Langlands conjecture）。

Lin是这篇论文共同作者之一 清华大学丘成桐数学科学中心现任助理教授

几何朗兰兹猜想的确认解决了一个巨大的开放问题，并有望影响未来几十年的研究，因为它可能会建立深刻而意想不到的联系。

更令人兴奋的是，这不是2024年唯一的重大突破。事实上，只有几个里程碑在几何领域得到了证实，黎曼假说和abc猜测等数学理论中的著名问题也有所突破。

一般来说，当数学家找到将看似不相关的想法联系起来，打破不同研究领域之间的障碍时，最好的结果就会产生。这就是几何朗兰兹猜想的结果。

然而，这样的突破通常不是凭空出现的，而是数学家经过几十年的努力和渐进步骤的积累，最终实现的。分散在各个角落的新想法不断结合、审视和重组，直到似乎完全不可能的事情变得不那么不可能，这就是数学前进的方式。

证实了几何朗兰兹的猜想。

2024年最大的成就可以说来自朗兰兹纲领。（Langlands program），这是一个有着50年历史的雄心勃勃的愿景。它的目标本质上是再次绘制数学地图——将每一个板块整合成一个统一的盘古大陆，连接数学研究的每一个领域。

但是很明显，证明朗兰兹纲领实际上是极其困难的，其中的解释本来就是非常复杂和硬核的，更不用说证明它们所需要的技术了。

在20世纪80年代，一位数学家提出了几何版本的关键部分之一。——「几何朗兰兹猜测」，但是在今年五月之前，几十年来没有人能处理它。

这一证实对朗兰兹纲领的其它部分来说是一个巨大的福音，并将在未来产生深远的影响，促使数学家们继续探索相关成果。正如一位数学家所说，「所有的障碍都会渗透到各个领域之间。」

AI走向主舞台

还记得ChatGPT第一版的数学能力吗？当时虽然对各种自然语言任务都很舒服，但是数学能力最多只能为表情图提供材料。

2024年之前，各行各业的LLM都无法正确计算简单的加减乘除，更不用说处理应用题了，更难提及对数学题的完美确认。

但是从今年开始，情况就不一样了。

一月份，谷歌DeepMind发布了AlphaGeometry的新模型，可以证明几何问题，然后在今年7月，它的升级版AlphaGeometry。 在国际数学奥林匹克竞赛中，AlphaProof（IMO）中等水平相当于银牌，甚至离金牌只有一分之差。

AlphaProof是一项巨大的成就，它展示了人工智能快速增长的数学能力。陶哲轩在一次采访和多次演讲对话中表示，他非常看好AI在数学领域的前景，人工智能有望成为「副驾驶」（copilot）参与未来的原创研究。

在我看来，三年后，AI将对数学家有用，它将成为一名优秀的co。-pilot(副驾驶)。

试着确认一条法律，有一步你认为是正确的，但是你不太明白它是如何正确的，你可以说，「人工智能，你能帮我做这个吗？」它可能会说「我想我可以证明这一点」。

有了人工智能，我们可以一次确认数百或数千条法律，人类数学家会指导人工智能做各种事情。所以我觉得研究数学的方式会发生变化，实际应用人工智能会变得更容易管理。

「球沉积」纪录被打破

不像几何朗兰兹的猜测，「球沉积」问题的表达非常直观:如何在给定的n维空间中将一堆半径相同的球塞进去，使密度最高，即最多的球被塞进去？

圆球可以在三维空间中排列成金字塔形状，类似于香槟塔，但是如果维度更高呢？

2016年，乌克兰数学家Maryna Viazovska证明，有一种特定的晶格结构是在8维和24维空间中添加圆球的最佳方式，但是对于其他高维空间，答案仍然不得而知。

数学家希望找到一个通用的解决方案——一个公式，即使不能给出最佳解决方案，也可以提供一种在任何高维度密集沉积球体的方法。

今年4月，我们见证了通用版本球沉积问题自75年以来的第一次重大突破。数学家们没有像Viazovska那样以整齐有组织的方式排列球，而是以不同的方式使用图论，给出了一个非常无序的沉积方案。

米尔诺猜测50年前的反例

确认古代的猜测很重要，但是反驳它们也很重要。我们必须时刻对数学和各种科学持怀疑态度，即使是那些很可能在直觉上设定的东西。

正是这种怀疑和批评的态度带来了今年另一个重要的几何证明:三位数学家发现了米尔诺猜测。（Milnor conjecture）的反例。

米尔诺猜测是一个有50年历史的问题，被称为「拓扑圣杯」，这涉及到流形曲率与形状的关系。

一九六八年，当时普林斯顿大学的著名数学家John Milnor推断，如果一个完整的形状有一个相对平均的曲率，那就足以告诉我们它不可能有无限多个孔。

这三位列举反例的数学家花了很多时间和精力试图证明米尔诺的猜测，但最终他们都失败了，但他们从背后想到了另一个村庄——也许这个猜测是错误的？也许有建立反例的空间？

从这个时候开始，他们的进步几乎是前所未有的顺利。短短几个月，三个人就搞清楚了如何构建一个奇怪的七维流形。他们将无限多个七维碎片以细微复杂的方式粘合在一起，一点一点地组装出他们需要的整个流形，同时确保里奇的曲率始终是非负值的。

最终，他们得到了一个所谓的东西「平滑的分形雪花」——一种无限而精致的自相似结构。每一点都有非负的里奇曲率，但是有无数的洞，这反驳了米尔诺的猜测。

这项工作涉及到一种新型结构的研究和开发，揭示了宇宙的可能形状可能比数学家想象的要奇怪，尽管我们现在知道宇宙的形状真的很奇怪。

数学理论的重要进展

处理这些主要的几何问题就像在数学平原上竖起一座高耸的纪念碑。然而，为未来的纪念碑打下更好的基础也是非常重要的，这是2024年数学领域发生的事情。

对这一领域的一些顶级问题，数学家们在理解问题方面取得了很大的进步，尽管这是渐进的。

例如，MIT数学教授Larry。 Jamess获得Guth和牛津大学菲尔兹。 Maynard，在黎曼假说方面取得了重大进展，直接打破了80多年的记录。

尽管距离确认黎曼假说还有很长的路要走，但是包括陶哲轩在内的很多数学家都说，这是一个「历史时刻」，这是1940年以后唯一的实质性突破，两位作者的工作取得了实质性突破。「轰动的结果」。

此外，UCLA中国研究生和两位MIT研究生在数学组合领域最大的未解决问题之一——完全无序的数学概率已经取得了突破。他们在文章中讨论了数学混乱如何不可避免地产生秩序，这意味着Szemeredi问题在过去几十年里取得了第一次进展。

不可否认，这些数学问题的处理还有很长的路要走，但是通过一步一步的接近，数学家们开发了一个强大的新工具包，阐述了新的观点。再加上人工智能领域的快速发展，谁能预测2025年及以后会发生什么？

参考资料：

https://www.quantamagazine.org/the-year-in-math-20241216/

本文来自微信微信官方账号“新智元”，作者：乔杨，36氪经授权发布。

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