Nature Physics前沿：现实世界中复杂的网络稀疏物理发源

导语

从大脑神经网络到互联网的数据传输，从细菌群落的信号交换到城市的交通系统，我们周围的复杂网络都表现出一个共同的特点:网络连接稀疏，实际连接数远低于理论上可能的最大连接数。这一普遍存在的稀疏性提出了一个根本问题：为什么这种看似“不充分”的连接方式是自然选择的？如何在保证功能的同时实现复杂系统的这种稀疏结构？传统理论认为，这种稀疏可能是由于连接成本的限制或特定的生长机制造成的，但这些解释很难表明为什么不同的系统会表现出类似的网络结构。2024 年初发表在 Nature Physics 本文从统计物理学的思想出发，提出了一个基于网络密度矩阵的理论框架。该框架将网络形成过程与物理系统的变化进行了比较，揭示了网络的稀疏结构是系统在信息传递效率和反应多样性之间找到最佳平衡的必然趋势。

关键词：网络复杂、稀疏、物理统计、信息动力学、网络科学、临界变化

刘志航 | 作者

论文题目：

Diversity of information pathways drives sparsity in real-world networks

论文链接：

https://www.nature.com/articles/s41567-023-02330-x

在现实世界中，复杂的网络通常具有稀疏连接的特点，即网络中的实际连接数远远低于理论上可能的最大连接数。这种稀疏性似乎是一种普遍存在，从人类口腔细菌多物种群落到真菌菌体细胞网络，从生物体内的细胞到生态系统。但是，为什么如此多样化的系统会显示出类似的网络架构特征呢？更为重要的是，这些系统是如何在保持功能的同时实现稀疏结构的？

根据传统观点，网络稀疏可能是由于连接成本的限制，也可能是由于网络生长过程中的一些局部机制。例如，一些研究提出了各种网络生长机制来复制这些特征，包括优先连接、小天地网络模型等。然而，这些解释是有限的:它们很难充分讨论不同系统中看到的类似网络特征，也无法从第一原则的角度解释复杂网络的高效行为。另外，目前的方法通常需要复杂的优化过程，很难解释为什么某些网络配置会被自然选择。

这项研究提出了一个新的理论框架，面对这些挑战。研究小组参考了统计物理学中的思想，提出网络的形成过程可与物理学系统中的变化进行比较。他们发现，网络架构的形成是在两个良性竞争因素之间找到平衡:一方面，建立连接可以促进信息流动，提高系统协调能力；另一方面，过多的连接会限制节点的自由度，减少系统对外界干扰的反应多样性。

这种平衡机制不仅解释了网络稀疏的普遍存在，还揭示了复杂网络特征形成的物理根源，包括模块化组织、小世界特征等。研究人员通过引入网络密度矩阵的概念，建立了类似热效率的变分原理，为理解复杂网络的形成提供了全新的理论框架。

通过分析 543 一个来自不同领域的实际网络，研究人员发现他们都遵循类似的数学规律，这表明一个统一的物理原理可能主导各种复系统的网络结构的形成。。

1. 从密度矩阵到网络效率：

物理学视角下的信息传递

研究小组首先引入了网络密度矩阵的概念，以了解网络形成过程中的信息传递机制。密度矩阵是量子力学中描述量子系统状态的重要工具，它能全面记录系统的所有可能状态及其概率分布。研究小组巧妙地将这一概念转移到网络科学中：如果我们将网络中的信息传递与量子系统中的状态进化进行比较，那么网络密度矩阵就可以描述信息在网络中是如何流动的，以及网络如何应对外部干扰。

具体来说，研究人员使用最基本的扩散动力学来描述网络中的信息传递，网络中的信息(或扰动)也会从一个节点传播到相邻的节点。这个过程可以用拉普拉斯矩阵来描述，考虑到每个节点的连接程度和节点之间的连接关系。

图 1：响应多样性和信息传递示意图。 ( a ) 它显示了信息如何从一个被扰动的节点(红色)逐渐传播到网络中的其它节点。随著时间的推移，信息将首先到达直接相连的邻居节点(一楼)，然后是邻居的邻居(二楼)，以此类推。在某个时刻，热图显示（τ =0.5)信息分布状态。 ( b ) 将所有可能的扰动状态结合起来，网络密度矩阵显示出整个网络对随机扰动的反应模式。 ( c ) 通过四种不同连接模式的简单网络示例，展示了网络结构如何影响其对干扰的反应(红色节点表示干扰的位置)。

在这个框架下，网络的形成过程可以看作是一个从无序到有序的相变过程。在这个过程中，有两个关键的物理量:信息流增益（W），类似于物理系统中的“功”，表示网络通过建立连接获得的信息传递能力；另一种是对多样性损失的反应（Q），类似于物理系统中的“热”，表示系统因建立连接而失去的自由响应方式。

两者之间有一种类似于热学效率的衡量关系。 η：

这个效率η实际上描述了网络在获得信息传递能力的同时，保持响应多样性的水平。。研究人员通过严格的数学推导证明了这一点这种效率在网络出现稀疏结构时达到最高水平。这个发现为我们理解自然界中网络普遍呈现稀疏结构提供了基本物理原理的解释。

尤其值得注意的是，这种衡量关系会随着时间尺度的信息传递而发生。 τ 产生变化。就短时间尺度而言（τ ≈ 0)，信息还没有时间传播，各种网络架构的效率 η 都接近于 1。就像在很短的时间内，不管是通过高速公路还是乡间小路，信息传递的距离都差不多。但是，在较长的时间范围内，网络的拓扑结构开始显著影响信息传播效率，此时稀疏结构的优势就凸显出来了。

2. 能量 - 熵权衡驱动的网络稀疏规律

研究人员在建立了网络形成的物理框架后，提出了一个关键预测：如果网络的连接数(|E|)和节点数（N）有幂律关系，所以最大限度的提高效率。 η 网络应该有 γ ≈ 1 标度指数。这一理论预测表明，网络应保持稀疏的连接结构，以便在信息传递和反应多样性之间取得最佳平衡。

图 2：对网络标度律进行实证分析。 图中展现了 543 来自不同领域的实际网络的连接数与节点数(对数坐标)之间的关系。总的来说，最佳拟合获得标度指数 γ = 1.07 ± 与理论预测相比，0.02 γ = 1 高度一致。小图展示了网络(互联网、社会网络、生物网络、技术网络、经济网络和交通网络)在各个领域的具体分析，都呈现出类似的标度关系。

研究小组对一个理论预测进行了分析。 543 一个来自不同领域的实际网络。这些网络规模已经跨越了几个数量级，从只有100多个节点的小网络到拥有1亿多个节点的大系统。通过对数坐标下的线性回归分析，研究人员发现整体标准指数是 γ = 1.07 ± 与理论预测高度一致的0.02。

研究小组的分析涵盖了从生物到社会的广泛领域。生物系统不仅包括微观神经连接组，还包括宏观真菌丝网；在社会系统中，既有虚拟在线社交网络，也有实体科研合作网络。从局域电力网络到全球互联网基础设施，从城市内部的道路系统到跨洲际航空航线网络，人类构建的技术体系中也出现了同样的规律。这种普遍性表明，虽然这些系统在功能、规模和演变历史上有很大的差异，但它们都可能受到同一基本物理原理的控制:优化信息流动与响应多样性之间的衡量，通过保持稀疏的网络架构。。

值得注意的是，虽然不同领域的网络遵循相似的标准规律，但具体的连接密度和组织方式仍然存在差异。这些差异可能反映了不同系统面临的特定功能要求和环境约束。例如，神经网络需要在能量效率和信息处理能力之间取得平衡，而交通网络需要衡量建设成本和物流效率。

3. 自发涌现的网络拓扑特征机制

研究小组进一步探索了网络在不同时间尺度下的行为如何塑造复杂网络的典型特征。通过分析 η 随着网络结构的变化，他们发现模块化、小全球化等特性都可以从能量上获得。 - 熵平衡的框架自然出现。这个发现不仅解释了这些特征的普遍存在，也揭示了它们形成的物理根源。

图 3：拓扑的特点是正确的η的影响。 通过四种典型的网络模型，研究探索了不同的拓扑特性如何影响效率？ η： ( a ) ER 在临界连接概率周围，随机网络模型显示了连接性的影响，结果显示 η 达到最佳； ( b ) 随机网络模型揭示了模块化结构的作用，模块混合中等水平（μ）可以在局部聚集和全局整合之间达到最佳平衡； ( c ) Watts-Strogatz 该模型显示了小天地特性的重要性，引入少量长程连接可以显著改善。 η 值； ( d ) 修改的 BA 模型探讨了异质性的影响，表明异质性的适当分布有利于信息传递。在不同的时间尺度中，热图显示了这些特征 τ 下的表现。

这一数值实验揭示了一些深刻的物理洞察：第一，在短时间内（τ ≈ 0)，网络结构正确 η 这表明局部信息传递主要依赖于直接连接，影响较小。随著时间尺度的提高，网络的拓扑特性开始发挥关键作用。特别是在中等时间尺度下，模块化结构具有明显的优势:它不仅保持了局部区域的高效信息传递，而且通过模块之间的稀疏连接，保持了系统对外界干扰的多样化响应能力。

小天地特征的出现也可以从 η 最大化原理得到解释。研究表明， η 当增加到一定程度时，加入少量长距离连接可以显著改善 η 值。这些长程连接大大降低了平均路径长度，同时保证了局部聚集系数，为系统提供了信息传播效率和响应多样性之间的最佳解决方案。这一发现与自然界中许多系统表现出小天地特征的现象不谋而合。

图 4：与随机网络模型相比，生物网络。 研究分析了包括线虫在内的多种生物网络系统（C. elegans）和海鞘（C. intestinalis）神经连接组，以及六种真菌的真菌网络。资料显示，相应的 ER（Erd ő s-R é nyi）和 CM（Configuration Model）与随机网络模型相比，真实生物网络在中等到大规模的时间段内具有更好的效果。 η 值。这一优势尤其体现在它们能够在更广泛的时间尺度上保持更高的效率。

研究人员通过对比真实网络和随机网络模型，发现了一个重要现象：自然化形成的网络架构通常可以在更大范围内保持较高的时间尺度。η值。这种稳定性不是偶然的，而是系统在长期进化过程中适应不同时间尺度需求的结果。例如，神经网络需要同时处理快速的感知信号和缓慢的认知过程，这就要求网络结构在不同的时间尺度下保持良好的性能。

尤其值得注意的是，这些拓扑特征的出现并不需要特定的生长机制或复杂的优化算法。相反，它们是追求高效率的系统。 η 在这个过程中自发形成。这个发现为我们提供了一个全新的视角:拓扑在复杂网络中的普遍特征可能是系统在能量中的普遍特征 - 熵对框架下的自然选择结果进行权衡。它不仅加深了我们对网络形成机制的认识，而且为网络设计和优化提供了理论指导。

4. 复杂网络的热学基础和未来挑战

通过引入统计物理学，本研究为理解复杂网络的形成机制提供了一个全新的理论框架。研究发现，网络的稀疏性不是偶然的，而是优化信息传递效率和响应多样性之间衡量系统的必然趋势。这一发现不仅解释了为什么自然界的网络侧重于保持稀疏结构，也揭示了模块化、小全球化等复杂特征的物理根源。

但是，这一理论框架也有一些局限性。第一，研究中使用的扩散动力学是对实际信息传播过程的简化，在某些系统中是否能完全捕捉到复杂的非线性动力学特征。例如，在神经网络中，神经元之间的相互作用远比简单的扩散过程复杂；在社交网络中，信息传递往往伴随着复杂的人类行为。第二，理论预测和实证数据之间仍然存在微小的差异。尽管大多数网络的标度指数接近于 第一，但是不同类型网络的实际取值仍然有起伏。这一误差可能来自于空间限制、成本限制等现实系统中的其它约束，各种因素在当前的理论框架中尚未得到充分考虑。三是本研究主要关注网络的静态结构类型，对网络的动态演变沾墨较少。实际上，很多现实网络都在不断地进化，如何将时间维度纳入当前的理论框架是一个重要挑战。另外，理论上假设系统能达到最佳效率。 η，但是，实际系统可能受到局部最佳或演变动力学的限制。

学者简介

Manlio De Domenico，意大利帕多瓦大学物理学教授、网络药物学中心主任、地中海复杂网络学校主任、科学家和复杂系统科学家。

学者首页：

https://manliodedomenico.com/。

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