上海交通大学特聘教授王维克：数学家应该如何让更多的人爱上数学？

数学科学在中国被提及为前所未有的重要地位。早在 2019 2000年，科技部、教育部、中国科学院、自然科学基金委发布《关于加强数学科学研究工作计划的通知》，要求长期稳定支持基础数学科学，加强数学和数学应用研究的应用。

近年来，随着人工智能和相关技术的兴起，许多人想“热爱数学”的冲动进一步增强。但是后来大家都觉得:数学不容易，想靠近它，对它有一点深入的了解。

为什么数学书的页面如此“不友好”？

首先讲一个真实的故事。作者从事科普讲座，从“七桥问题”到“拓扑学”，从“七桥问题”中的桥是画直线还是曲线都是一样的，延伸到只要不形成新的节点和断点，在拓扑学中考虑的对象都是一样的。所以，拓扑学有“橡皮泥”几何学的雅号。一些观众被这种流行的“拓扑学”所吸引，他们找到了一本关于拓扑学的教材，想要“亲近”拓扑学。然而，这类书的第一个定义通常是这样的:

定义 1：设 X 是一个非空集合，X 这是一个子集族 τ 称为 X 如果它满足了一个拓扑：

1）X 和 Ø 都包含在 τ 中；

2）τ 其中任何多个成员并集还在 τ 中；

3）τ 有限的多个成员交集仍然存在 τ 中。

令人惊讶！“橡皮泥”几何在我脑海中形成的印象，无论如何都不会与上面这段话联系在一起。没有良好的数学素养，我们无法理解它们之间的联系。数学书页的不友好已经成为普通人想要接近数学的绊脚石。

为什么数学总是如此抽象？

由于多方面的原因，数学界面不友好，其中一个就是数学研究对象的普遍性。

以“距离”的概念为例。在中学，我们的学习距离很简单:两点之间的距离是用直线连接这两点之间的长度。然而，面对成千上万个世界的普遍性，情况是不同的。

比如航海。从中国上海到美国旧金山，专家们都知道，在这个地球仪器上测量距离是不可能画直线的。画一个大圆(或称为测量地线)，也就是通过这两点和球心之间的平面和球面的截线。画直线会带来一个风险，就是你要穿过海底甚至地心，可能比宇航员上天还难。

例如，假设你在电影院的位置是第一排第三，第一排第三排是一个向量。看见你的朋友坐在第二排第五。每个人的位置距离，完全可以拉一条直线，但是计算起来比较麻烦，需要使用勾股定理。但是还有其他的方法，就是把第一排和第二排减到绝对值，然后第五号和第三号也减到绝对值，两者的加起来也可以是距离。前一种距离是我们在中学学过的距离，而后一种距离并非中学学过的距离。

考虑两个人之间更复杂的距离。你可以定义两个人的物理距离，从重心到重心的距离，或者鼻子到鼻尖的距离。如果两个人直视对抗，这个距离的定义应该是最合适的。此外，我们还可以定义两个人身体素质的距离，两个人亲密关系的距离，两个人心灵的距离等等。

其中，两个人心灵的距离是一个非常有意义的话题，真的可以试着定义。比如我们可以像电视节目一样做一些测试。就是看他们之间的默契水平。问一对朋友或者情侣，他们喜欢在网上浏览什么？晚上休息会怎么样？如果你想要的和你的兴趣是一致的，这意味着他们之间的距离非常近。如果他们不一致，他们之间的距离可能会更远。

当然，类似的问题也可以不断创新，比如两个函数之间的距离，两个企业之间的距离，两只股票之间的距离等等。有了这样一些“距离”的案例，我们的问题是:如何定义一个包含上面各种距离的一般距离？

这已经成为一个看似困难的问题。因此，我们应该整理我们的想法，找到另一种方法。显然，对于数学中的一般距离，我们不能具体说明它是什么，也不能说明它是什么，而是它的属性。

这种思维方式实际上并非数学所独有，查看《现代汉语词典》。在提到“橙”这个词条时，它的解释是具体描述的，它说：“橙” : ①常绿树木或灌木，叶片椭圆形，果实圆润，鲜嫩，果皮红黄，味酸甜。②这是植物的果实。"前一种是指橙树这种植物，后一种是这种植物的果实。但是如果查看《现代汉语词典》中关于水果的条目，就不能具体说明了。这也是一种具有描述性特征的语言。那属性是什么呢？在《现代汉语词典》中这样描述：“水果：可食用的含水量较高的植物果实，如苹果、梨、桃等。”“前一句话实际上已经定义完毕，后一句话怕说不清楚，再举例说明。

因此，当我们讨论一个对象时，我们可以在清楚地了解特征后，用特征准确地把握目标。我们在中学学到的距离-两点之间的距离只是距离的例外。要给出一般的距离定义，必须用属性来描述。那么距离最重要的属性是什么呢？

第一，距离应该是可以检测的，而且应该没有方向，也就是说， A 到 B 的位置和 B 到 A 距离必须相同。两个不同的目标对应的数量必须大于零，两个相同的时间必须等于零，即非负面。如果有三个目标， A 和 B 的距离，B 和 C 加起来，距离应大于或等于 A 和 C 的距离。那就是三角不等式。不但如此，我们还需要解决一个问题，那就是如何用无歧义的语言写出来。首先，因为我们不能只谈“数”或“点”的距离，因为我们也可以谈论人们心灵的距离，所以这个距离的定义不能仅限于实数或向量的讨论，而应该定义为一般的集合。我的第一句话是：“ X 这是一种非空集合，空集合也不能谈距离，是一种非空集合。接着要任命给一对这样的元素。 x 和 y，让这个元素对应一个实数。让我们看看这个数字符合什么条件:第一，这个数字要求大于或等于零，即“非负”。只有当两个元素相同时，它才等于零，这是充要条件；第二，我们在讨论的时候说过，x 和 y 的距离与 y 和 x 距离应该是一样的，这就是它需要“对称”；三是任意三个元素集合在一起，它要满足三角不等式。用精练的数学语言写下刚才讨论的那么多话，就是：

定义 2：设 X 这是一种非空集合，任给一对这种集合元素。 x 和 y 给它一个实数 d ( x,y ) ，若满意：

1）非负性：d ( x,y ) ≥ 0，当且仅当 x=y 时 ,d ( x,y ) =0;

2）对称：d ( x,y ) =d ( y,x ) ;

三角形不等式：d ( x,y ) ≤ d ( x,z ) d ( z,y ) ,

那么则称 d ( x,y ) 是集合 X 上的距离。

好吧，这个“距离”不妨把它当作上面讨论的创造，是在我们手中产生的。那么，每个人都认为它仍然很亲近。当然，由于上课时间的限制和上课目标的多样化，教师一般不会在课堂上使用这种说法。一般来说，数学书也不会讲前面说的那么多话，数学书一开始就定义了，直接定义了上面的距离。学数学的同学也会抱怨，为什么数学如此抽象，根本不知道这个定义在说什么。

怎样做数学科普更有效率？

回顾这段“旅程”，我们的收获是什么？也就是说，一旦讨论的对象不是具体的，而是一个一般的抽象目标，我们就要把握与问题相关的最重要的属性，忽略所有其他属性。

比如距离，不考虑是直线还是曲线，哪种定义方法比较短，这些东西都没了。找出三个关键特征，这就是抽象。所以有了这样的经历，我们大致就知道如何形成数学的定义了。至少从一个方面知道数学游戏是怎么玩的。也许有些读者已经意识到了一两个通过“数学游戏”的秘密。

这里，我们需要了解数学定义叙述之所以如此抽象，其实有一个重要原因，那就是因为数学定义的“重大责任”。就这里的距离定义而言，定义应该对成千上万个世界的所有距离负责，而不仅仅是定义一个具体的距离，而是从特征出发，指出“有什么”。从这个角度来看，数学家的视野就是王者的局面。毫无疑问，用“有什么”的属性来描述目标，是违背每个人平时的思维方式，也就形成了数学书页面的不友好。

从另一个角度来看，如何搭建公众和数学科学的“鹊桥”是数学工作者的重要使命，尤其是在当今信息科学需求日益增长的环境下，其实有一个切实可行的方法可以让喜欢数学的人更容易爱上数学。

这里有两个建议：

第一，任何数学讲座或者数学教学，一开始一定要有一个公众能理解的介绍，要“先情后理”。我们宁愿牺牲一点严格性，语言也要尽可能有代入感和情感。当你大致知道自己想玩什么游戏，主动探索的时候，可以多讲讲数学的“理”。

第二，介绍任何新的数学概念和思想，都必须符合大多数人理解事物的习惯。本文解释了“距离”的定义，这应该是从“具体”到“抽象”的好方法之一。

新时代需要数学，让我们共同努力，让更多的人爱上数学！

作家：王维克

文章：王维克(上海交通大学特聘教授，上海数学会副主席) 图片：受访者提供图片 职责编辑：姜澎

请注明转载此文的来源。

本文仅代表作者观点，版权归原创者所有，如需转载请在文中注明来源及作者名字。

免责声明：本文系转载编辑文章，仅作分享之用。如分享内容、图片侵犯到您的版权或非授权发布，请及时与我们联系进行审核处理或删除，您可以发送材料至邮箱：service@tojoy.com